Autres exemples
La suite des nombres premiers :
$$
(p_n)_n = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 ...)
$$
$p_n$ est le $n$-ième nombre premier : $p_0 = 2 ; p_1 = 3 ; $ etc.
La suite des nombres premiers est infinie et tend vers $+\infty$
La suite des décimales de $\pi$ :
$$
(d_n)_n = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5,8,9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6,2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, ...)
$$
$d_n$ est la $n$-ième décimale de $\pi$ : $d_0 = 3 ; d_1 = 1 ; $ etc.
La suite des décimales de $\pi$ est infinie et n'a pas de limite finie, même si elle est bornée.
On estime à 1,14% le taux d'accroissement de la population mondiale. La suite prévisionnelle de la population mondiale est définie d'une année sur l'autre par :
$$
\left\{
\begin{array}{ccl}
p_{n+1}&=&1,0114\times p_n \\
p_0 &=& 6,842\times 10^9 \text{ (population en 2010)}
\end{array}
\right.
$$
C'est une suite géométrique de raison $1,114$ et de premier terme $6,842\times 10^9$
L'Hydre de Lerne est une créature de la mythologie grèque antique. Tuer l'Hydre est un des 12 travaux d'Hercule. Chaque tête coupée repousse doublement et elle a 9 têtes au départ. Soit le nombre de têtes de l'Hydre lorsqu'on en a coupé $n$ :
$$
\left\{
\begin{array}{ccl}
t_{n+1}&=&t_n + 1 \\
t_0 &=& 9
\end{array}
\right.
$$
C'est une suite arithmétique de raison $1$ et de premier terme $9$
La suite de Conway (inventeur du jeu de la vie) ou suite "Read and say" :
le premier terme . Chaque terme se construit en annonçant le terme précédent, i.e. en indiquant combien de fois chacun de ses chiffres se répète :
1 se lit "un un" et donne donc
11 se lit "deux uns" et donne donc
21 se lit "un deux, un un" et donne donc
etc...
$$
\left\{
\begin{array}{ccl}
C_{n+1}&=& \text{lire et dire }C_n \\
C_0 &=& 1
\end{array}
\right.
$$
Ainsi, $C=(1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, ...) $
La suite de Syracuse : on choisit un nombre $S_0$ comme point de départ, puis :
$$
S_{n+1}=
\left\{
\begin{array}{ccl}
\frac{S_{n}}{2} & \text{ si }& S_n \text{ est pair} \\
\ 3 S_{n} + 1 & \text{ si }& S_n \text{ est impair} \\
\end{array}
\right.
$$
Il est conjecturé que cette suite est cyclique quelle que soit la valeur de départ (essayer avec $S_0 = 1, 2, 3$). Pourtant aucun mathématicien n'en a apporté une preuve définitive. Il s'agit d'un de problèmes en mathématique dont l'apparente simplicité cache une incroyable complexité.
En 1985, le mathématicien Paul Erdos aurait dit « les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ».